– За oсновно и средно образование

Височина на триъгълник

 

Разтоянието между връх на триъгълник и противоположна страна се нарича височина. Т.е. височина е най-късото разтояние между връх на триъгълника и протовоположна страна(или продължението и).

Ортоцентър

Всеки триъгълник има 3 височини, които се пресичат в една точка – ортоцентър.

Стандартно височините се означават с AHa, BHb, CHc, които се пресичат в ортоцентъра(т. H). Ако триъгълника е тъпоъгълен(т.е. един от ъглите му е по-голям от 90°), ортоцентъра на триъгълника лежи извън триъгълника, и AHa, BHb, CHc не се прсичат в него, но техните продължения се пресичат в ортоцентъра, които лежи извън триъгълника.

Височини в остроъгълен триъгълник

Ортоцентъра(пресечената точка на височините) е вътрешна точка за триъгълника

∠ AHB = 180 – γ = α + β
∠ BHC = 180 – α = β + γ
∠ AHC = 180 – β = α + γ
∠ AHHc = β, ∠ BHHc = α, ∠ BHHa = γ

Височини в тъпоъгълен триъгълник

Ортоцентъра е извън триъгълника.
Две от височините също са извън триъгълника.
∠ AHHc = ∠ CBA = β
∠ HcHB = ∠ CAB = α

Височини в правоъгълен триъгълник

Височината AHa съвпада с AC.
Височината BHb съвпада с BC.
Ортоцентърът H съвпада с C.
∠ ACHc = β, ∠ BCHc

Формули

AH a :BH b :CH c =1a :1b :1c  AHa:BHb:CHc=1a:1b:1c

aAH a  =bBH b  =cAH a BH b CH c    aAHa=bBHb=cAHaBHbCHc

R – радиусът на описаната окръжност.
r – радиусът на вписаната окръжност.
p – полупериметърът на триъгълника т.е. (a + b + c)/2

AH a =bsinγ=csinβ=asinβsinγsinα = AHa=bsin⁡γ=csin⁡β=asin⁡βsin⁡γsin⁡α=

=2Rsinβ sinγ=bc2R =2p(pa)(pb)(pc) − − − − − − − − − − − − − − − − −  √ a  =2Rsin⁡β sin⁡γ=bc2R=2p(p−a)(p−b)(p−c)a

 

BH b =a sinγ=c sinα=b sinα sinγsinβ = BHb=a sin⁡γ=c sin⁡α=b sin⁡α sin⁡γsin⁡β=
=2R sinαsinγ=ac2R =2p(pa)(pb)(pc) − − − − − − − − − − − − − − − − −  √ b  =2R sin⁡αsin⁡γ=ac2R=2p(p−a)(p−b)(p−c)b

 

CH c =a sinβ=b sinα=c sinα sinβsinγ = CHc=a sin⁡β=b sin⁡α=c sin⁡α sin⁡βsin⁡γ=
=2R sinαsinβ=ab2R =2p(pa)(pb)(pc) − − − − − − − − − − − − − − − − −  √ c  =2R sin⁡αsin⁡β=ab2R=2p(p−a)(p−b)(p−c)c

1AH a  +1BH b  +1CH c  =1r

 

Медиана

В триъгълника медиана е отсечка, която свързва връх на триъгълника със средата на срещуположна страна. Всеки триъгълник има 3 медиани. Стандартно те се означават с AX, BY и CZ. Медианите се пресичат в една точка, която се нарича медицентър и се означава с точката G.

 

Медицентъра G разделя медианите в отношение 2:1 т.е.:

AGGX =BGGY =CGGZ =21  AGGX=BGGY=CGGZ=21

и

AGAX =BGBY =CGCZ =23  AGAX=BGBY=CGCZ=23

и

GXAX =GYBY =GZCZ =13  GXAX=GYBY=GZCZ=13

Формула за дължината на медиана

 

Стандартно медианите се означават с ma, mb, mc.

m a =12 2c 2 +2b 2 −a 2  − − − − − − − − − − −  √  ma=122c2+2b2−a2
m b =12 2c 2 +2a 2 −b 2  − − − − − − − − − − −  √  mb=122c2+2a2−b2
m c =12 2a 2 +2b 2 −c 2  − − − − − − − − − − −  √  mc=122a2+2b2−c2

Чрез медианите можем да изразим страните на триъгълника:

a=23 2m 2 b +2m 2 c −m 2 a  − − − − − − − − − − − − − −  √  a=232mb2+2mc2−ma2
b=23 2m 2 c +2m 2 a −m 2 b  − − − − − − − − − − − − − −  √  b=232mc2+2ma2−mb2
c=23 2m 2 a +2m 2 b −m 2 c  − − − − − − − − − − − − − −  √  c=232ma2+2mb2−mc2

 

Окръжност

 

Окръжност: множество от точки, които се намират на равно разтояние от дадена точка(център на окръжността).

Център на окръжност

Радиус: разтоянието между центъра на окръжноста до някоя от точките от окръжноста.

Диаметър: най-голямото разтояние между две точки от окръжността. Диаметър = 2.радиус

Обиколка: големината, която се получава като се обиколи окръжност.

Обиколката =π× =π× диаметър

π π – пи: число равно на 3.141592… или ≈227  ≈227, това е отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър

Дъга: крива, която е част от окръжността.

Дъгата на окръжноста се измерва в градуси или радиани. Например: 90° или π2  π2 е четвърт кръг, 180° или π π е половин круг. Дъгата на цялата окръжност е 360° или 2π 2π

Хорда: отсечка, която свързва две точко от окръжността.

Сектор: нещо като парче от торта(ако окръжноста ни е тортата).

Тангента(допирателна) към окръжността: права перпендикулярна на радиус и минаваща през точно една точка от окръжността.

Формули

Обиколката на окръжност =π.диаметър=2.π.радиус =π.диаметър=2.π.радиус
Площ на окръжност =π.радиус.радиус =π.радиус.радиус
Радиусът на окръжност се означава с r, диаметър с d, обиколка с P, а лице с S.

P=π.d=2.π.r P=π.d=2.π.r
S=π.r 2  S=π.r2

Лице на сектор

Площа на сектора К с централен ъгъл θ и радиус r
Ако ъгъл θ θ е в градуси тогава площа = θ360 πr 2  θ360πr2
Ако ъгъл θ θ е в радиани тогава площа = θr 2  θ2r2

Ъгли

Централен ъгъл

Ако дъгата на съответния централен ъгъл е θ θ градуса или радиана, то централния ъгъл е също θ θ (градуса или радиана).

Ако искаме да намерим големината на централен ъгъл θ θ по дължина на дъга(l cm, m, …) формулата е следната:

θ=360⋅lP =360⋅l2⋅πr =180⋅r  θ=360⋅lP=360⋅l2⋅π⋅r=180⋅lπ⋅r

Вписан ъгъл

Вписан ъгъл е ъгълът, чиито връх е точка от окръжност, а раменете му са хорди в окръжността.
На картинката ъгъл APB e вписан ъгъл.

Големината на вписаният ъгъл е равна на половината от големината на дъгата, която той отсича.

Пример:
Дъгата на картинката AB ˆ =84 ∘  AB^=84. ∠APB=842 =42 ∘  ∠APB=842=42∘

Ъгъл между две секущи

Случай 1: секущите се пресичат в точка вътрешна за окръжността.

Когато две секущи се пресичат вътре в окръжността, големината на всеки от ъглите е половината от сбора на на дъгите.
На картинката дъгата AB и CD са 60° и 50°, следователно ъгъл 1 и 2 са с големина 12 ⋅(60+50)=55 ∘  12⋅(60+50)=55∘

Случай 2: секущите се пресичат в точка външна за окръжността.

Ъгълът е равен на половината от разликата на дъгите.

ABC=12 (xy) ∠ABC=12(x−y)

Например: ако по-голямата дъга е 80°, а по-малката е 30°, то ∠ABC=12 (80−30)=12 ⋅50=25 ∘  ∠ABC=12(80−30)=12⋅50=25∘

Формула за пресичащи се хорди

Ако две хорди се пресичат в окръжноста както е на фигурата по-горе то:

AX . XB = CX . XD

 

Питагорова теорема

 

ВЪВЕДЕНИЕ

Теоремата на Питагор е може би най-известната теорема в геометрията, която помни всеки човек, който някогая е учил в училище.
Теоремата гласи, че в правоъгълният триъгълник катетите а и b, са свързани с хипотенузата в това просто съотношение:

a2 + b2 =c2

Питагоровата теорема изглежда проста, но не и очевидна. Това съчетание й придава особена привлекателна сила. Освен това теоремата има огромно значение. Фактът, че съществуват много различни доказателства на тази теорема (геометрични, алгебрични, механически и т.н.) свидетелства за огромната й приложимост. Откритието на питагоровата теорема е обвито с ореола на много красиви легенди.

КРАТКА БИОГРАФИЯ НА ПИТАГОР

Питагор е йонийски математик и философ, най-често свързван с Питагоровата теорема.Той е роден и живял на остров Самос. Негов баща бил някой си Мнесарх от Самос, който бил човек от благороден произход и добро образование. Бягайки от тиранина Поликрат, Питагор напуска Самос около 530г. пр.н.е. След това е живял над 20 години в Египет и над 10 години във Вавилон. Приема числата за основа на нещата, поради което се насочва към изучаването на количествената страна на числата. Той основава Питагорейска школа. Достъпът до тази организация е бил много труден и идеите се разглеждали в много тесен кръг. Постъпващите в този съюз давали обет за мълчание. Тази школа има основно значение за развитието на математиката, астрономията и други науки през следващите векове. На представителите на тази школа се дължи откриването на рационалните числа, както и основни за геометрията факти.

ИСТОРИЧЕСКИ ОБЗОР

Историческият обзор ще започна от древен Китай. Тук интересна е математическата книга Чу-пей. В това съчинение за питагоровата теорема се казва така
“Ако разложим правият ъгъл на съставни части, то линията, съединяваща крайщата на неговите страни ще бъде 5, когато основата е 3, а височината 4”.
В същата книга има рисунка, която съвпада с един от чертежите на индийската геометрия Басхар.
Кантор (голям немски математически историк) счита, че равенството

32 + 42 = 52

било известно на египтяните още около 2300 г. Пр.хр., по времето на фараон Аменхотеп І (съгласно папирус 6619 на Берлинския музей).
Според Кантор египетските строителите и земемерите (“специалисти по възлите”), построявали правите ъгли с помоща на правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Този триъгълник е наричан египетски или свещен триъгълник.

Много лесно може да се възпроизведе начина на техните построения. Взема се връвчица с дължина 12 м. И се връзва към цветна лента на разстояние 3 м от единия край и 4 метра от другия. Правият ъгъл ще се окаже заключен между страните с дължина 3 и 4 м. Строителите биха могли да възразят, че техният начин на построяване става излишен, ако се възползват, например от дървен ъгъл, прилаган от всички строители. И действително, има известни египетски рисунки, на които се среща такъв инструмент.
Има данни, че и на вавилонците е била известна теоремата на питагор. В един текст от времето на Хамураби, т.е. от 2000 г.пр.хр., се привежда приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълния триъгълник. От тук може да се направи извода, че и те са умеели да правят изчисления с правоъгълен тригълник, поне в някои случаи. Основавайки се, от една страна, на сегашното ниво на знания за египетската и вавилонската математика, а от друга – на старогръцки източници, Ван-дер-Варден (холандски математик) направил следният извод:

“Заслугата на първите гръцки математици, такива като Талес, Питагор и питагорейците , не е откриването на математиката, а нейната систематизация и обоснование. В техните ръце изчислителните рецепти, основани на смътни представи се превърнали в точна наука.”

Геометрия при индийците, както и при египтяните и вавилонците, е била тясно свързана с култове. Много вероятно теоремата за квадрата на хипотенузата да е била извесна в Индия около 18 в пр.хр.

Формулировки на теоремата

Това са различни формулировки на теоремата на Питагор в превод от старогръцки, латински и немски езици:

При Евклид тази теорема гласи (дословен превод):

“В правоъгълният триъгълник квадрата на страната натянутой над правия ъгъл е равен на квадратите на страните, заключващи правия ъгъл.”

Латинския превод на арабския текст на Аннаирици (около 900 г.пр.хр.) е направен от Герхард Клемонски (началото на 12 в) :

“Във всеки правоъгълен триъгълник квадрата, образуван на страната, натянутой над правия ъгъл е равен на сумата на двата квадрата, образувани на двете страни, заклъчващи правия ъгъл”.

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в превод звучи така:

“И така, площа на квадрата, измерен по дължината на страната, е толкова по-голяма, както при двата квадрата, които измерени по двете му страни, граничещи с правия ъгъл”.

В първия руски превод на евклидовите “Начала”, направен от Ф.И.Петрушевски, теоремата на Питагор е изложената така:

“В правоъгълния триъгълник квадрата от страните, противолежащи на правия ъгъл е равен на сумата от квадратите от страните, съдържащи правия ъгъл”.

Най-простото доказателство

Анимиран пример

Най-простото доказателство на теоремата се вижда при равнобедрения правоъгълен треъгълник. Достатъчно е просто да се разгледа мозайката на равнобедрените правоъгълни триъгълници, за да се убедим в верността на теоремата: Например, за тръгълника АВС: квадрата, построен на хипотенузата АС, съдържа 4 изходни триъгълника, а квадратите, построени на катетите – по два. Теоремата е доказана.

Доказателства по метода на разлагането

Съществуват много доказателства на теоремата на Питагор, в които квадратите построени на катетите и на хипотенузата се разрязват така, че всяка част на квадрата , построен на хипотенузата, съответствува част на един от квадратите, построени на катетите. Във всички тези случаи за разбиране на доказателствата е достатъчен един поглед на чертежа; разсъжденията тук могат да бъдат ограничени единствено с думата “Гледай”. Трябва само да се отбележи, че доказателството не трябва да се счита за пълно, докато не се докаже равенство на всички съответсващи една към друга части.

Доказателство на Нилсен

На рисунката вспомагателните линии са изменени по предложение на Нилсен.

Доказателство на Бетхер

На рисунката е дадено много нагледно разлагането на Бетхер.

Доказателство на Перикъл

В учебниците нерядко се среща разлагане като указаното на рисунката,; това доказателство е намерено от Перикъл. Чрез центъра О квадрата, построен на големия катет, прокаран право паралелно и перпендикулярно на хипотенузата. Съответствието на частите на фигурите се вижда много добре на чертежа.

Доказателство на Гутхейл

Изобразеното на рисунката разложение принадлежи на Гутхейл; за него е характерно нагледното разположение на отделните части, което позволява веднага да се види, какви опростения влече след себе си равнобедренния правоъгълен триъгълник.

Доказателство от ІХ в.пр.хр.

В началото били представени само такива доказателства, в които квадрат, построен на хипотенузата, от една страна и квадратите, построени на катетите от друга, се състоят от равни части. Такива доказателства се наричат доказателства по метода на разложение. До сега ние сме изхождали от нормалното разположение на квадратите, построени на съответствуващата страна на триъгълника, т.е. вне триъгълника. Макар че в много случаи по-лесно е другото разположение на квадратите.

На рисунката квадратите, построени на катетите са стъпаловидно разположени един спрямо друг. Тази фигура , която се среща в доказателствата, датира не по-късно от ІХ в.пр.хр., индийците са я наричали “стола на булката”. Начина на построяването на квадрата от страни, равен на хипотенузата е ясен от чертежа. Общата част на двата квадрата, построени на катетите и квадрата, построен на хипотенузата – неправилно защтрихования триъгълник 5. Ако присъединим към него триъгълници 1 и 2, ще получим двата квадрата построени на катетите, ако заменим триъгълниците 1 и 2 с равните на тях тригълници 3 и 4, то ще получим квадрата, построен на хипотенузата.

В заключение още веднъж ще подчертая важността на теоремата. Значението й се състои преди всичко в това, че от нея или с нейна помощ могат да се изведат голяма част от теоремите в геометрията.

 

Синусова теорема

 

Лицето на триъгълник ABC се измерва чрез формулите:

S = a.c.sin(B)/2 = b.c.sin(A)/2 = a.b.sin(C)/2

=>

a.c.sin(B) = b.c.sin(A) = a.b.sin(C)

разделяме на a.b.c, и получаваме синусова теорема

a
sin(A)
=
b
sin(B)
=
c
sin(C)

Нека R е радиуса на кръга описан около триъгълник ABC

Нека B’ е секущата на правата BO и кръга. Ъгъл B’ в триъгълник BB’C е равен на A, и BB’C е правоъгълен триъгълник
=> a = 2Rsin(B’) = 2Rsin(A) =>:

a
sin(A)
=
b
sin(B)
=
c
sin(C)
= 2R

 

Косинусова теорема

 

a2 = b2 + c2 – 2b.c.cos(A)
b2 = c2 + a2 – 2c.a.cos(B)
c2 = a2 + b2 – 2a.b.cos(C)

Задача за синусова теорема

Дължината на окръжността,описана около равнобедрен триъгълник, е два пътипо-голяма от дължината нa вписаната в него окръжност.Намерете мерките на ъглите на триъгълника

Решение
На фигурата е начертан даденият триъгълник ABC(AC = BC). Oписаната около него окръжност има дължина 2πR, а вписаната 2πr, като 2πR / 2πr = R/r = 2, т.е R = 2r. За да намерим ъглите α, β, γ на триъгълника АВС, трябва да изразим R и r чрез тях. Начертаваме ъглополовящите на триъгълник АВС, като CD е и медиана. Те се пресичат в центъра О на вписаната окръжност.

От триъгълник АDO получаваме OD/AD = tg(α/2), т.е. r = (c/2)(tgα/2) Стремим се с и α да изразим чрез R:
c/sinγ = 2R, γ = 180α – 2.α,
R = c/[2sin(180 – 2α) ] = c/2sin2α От R = 2r получаваме с/2sin2α = 2.(с/2)tg(α/2) = 1 <=> 4sinα.cosα.tg(α/2) = 1 е тригонометрично уравнение за α.
Ще го решим, като изразим sinα и cosα чрез tg(α/2):
sinα = (2tg(α/2))/(1 + tg2(α/2))
cosα = (1 – tg2(α/2))/(1 + tg2(α/2))
4tg(α/2).[2tg(α/2)/(1 + tg2(α/2))][(1 – tg2(α/2))/(1 + tg2(α/2))] = 1
Полагаме tg(α/2) = u и получаваме: 8u2(1 – u2) = 1 + u4 + 2u2 <=> 9u4 – 6u2 + 1 = 0 <=> (3u2 – 1)2 = 0
u2 = 1/3, u = ± 1/√3, tg(α/2) = ± 1/√3. Но α/2 е остър и следователно α/2 = 30°, α = 60°
β = γ = 60°

 

Сфера

 

Сферата е геометрично място на точки, равноотдаличени от дадена точка, наречена център на сферата.

Отсечката, която съединява центъра с една точка от сферата, се нарича радиус на сферата. Отсечката, която съединява две точки от сферата и минава през центъра, се нарича диаметър на сферата. Съвкупността от точките в пространството, които не лежат на сферата, се разделя на две части: вътрешност и външност на сферата. Вътрешността е съвкупността от тези точки в пространството,разстоянието на които до центъра на сферата е по-малко от радиуса и. Обратно, точките от външността са отдаличени от центъра на разстояние, по-голямо от радиуса.
Сферата е затворена повърхнина- една неприкъсната линия не може да съединява точка от вътрешността с точка от външността, без да има обща точка със сферата, т.е. без да я пресича. Следователно, ако една права минава през вътрешна точка на сферата, тя има поне една обща точка със сферата. Две точки от сферата, които са краища на диаметър, се наричат противоположни точки.

Ако една равнина има само една обща точка със сферата, равнината се нарича допирателна към сферата. Допирателната равнина е перпендикулярна на радиуса в точката на допирането. Аналогично една права се нарича допирателна към сферата, ако има с нея точно една обща точка. Всяка допирателна права лежи в допирателната равнина, минаваща през допирната точка.

Ако една равнина(права) има повече от една обща точка със сферата, равнината(правата) се нарича секуща. Общата част(сечението) на секущата равнина със сферата е окръжност. Една секуща права има точно две общи точки със сферата.

Ако центърът на окръжност от сферата съвпада с центъра на сферата, окръжността се нарича голяма окръжност. В противния случаи окръжността е малка. Всяка голяма окръжност разделя сферата на две части, които наричаме полусфери. Всяка равнина, която минава през центъра, пресича сферата в голяма окръжност.

Кълбо

Кълбото е запълнена сфера т.е. множеството от точки от сферата и тези, които са вътрешни за сферата. (В равнината кръга е запълнена окръжност.)

Част от кълбовата повърхнина, която произволна равнина отсича от нея, се нарича отрез или сферичен свод. Формули за обем на кълбов отрез

V = πh2(R – 1/3h)

V = πh(h2 + 3r2)

Част от кълбовата повърхнина, ограничена от две успоредни равнини, коитп пресичат кълбото, се нарича кълбов пояс. Формула за повърхнина на кълбов пояс.

S = 2πR

Формула за обем на кулбов слой

V = 1/6 πh(h3 + 1/2π(R12 + R22)h

Кълбов изрез или сектор, наричаме част от кълбото, ограничена от сферичен свод и коничната повърхнина с основа – основата на отреза и връх – центъра на кълбото.

Формула за повърхнина на сектор:

S = πR(r +2h)

Формула за обем на сектор:

V = 2π/3R2h

Формула за повърхнина на кълбо:

S = 4πR2 = πd2

Формула за обем на кълбо:

V = 4/3 πR3

 

Трапец, средна отсечка на трапец

 

Четериъгълник, само една двойка срещуположни страни на който са успоредни, се нарича трапец.

Успоредните страни на трапеца се наричат основи, а неуспоредните – бедра. Ако бедрата са равни, трапецът се нарича равнобедрен. Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца.

Средна отсечка на трапец

Отсечката която съединява средите на бедрата на трапеца, се нарича средна отсечка на трапеца. Средната отсечка на трапеца е успоредна на основите му.

Теорема:

Правата, която минава през средата на едно от бедрата на трапеца и е успоредна на основите, разполовява другото бедро.

Теорема:

Средната отсечка на трапеца е равна на полусбора на основите му

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средна отсечка, АB и CD са основи, AD и BC са бедра

MN = (AB + DC)/2

Tеорема:

Средната отсечка на трапеца е равна на полусбора на основите му.

Основна задача: Да се докаже, че средната отсечка на трапеца, разполовява всяка отсечка, краищата на която лежат върху двете основи.

Средна отсечка на триъгълник

Отсечката, която съединява средите на две от страните на триъгълника, се нарича средна отсечка на триъгълника. Тя е успоредна на третата страна и е равна на половината от нея. Теорема: Правата, която минава през средата на една от страните на триъгълника и е успоредна на друга негова страна, разполовява третата му страна.

AM = MC и BN = NC =>

MN || AB

MN = AB/2

Приложения на свойствата на средните отсечки в триъгълника и трапеца

Деление на отсечка на даден брой равни части
Задача: Дадена е отсечка АВ да се раздели на 5 равни части
Решение:
Нека р е произволен лъч с начало А, който не лежи на правата АВ. Нанасяме посвледователно върху р пет равни отсечки АА1 = А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5
Съединяваме А5 с В и през А4, А3, А2 и А1 прекарваме прави, успоредни на А5В. Те пресичат АВ съответно в точките В4, В3, В2 и В1. Тези точки делят отсечката АВ на пет ражни части. И наистина от трапеца ВВ3А3А5, ВВ4 = В4В3. По същия начин от трапеца В4В2А2А4, получаваме В4В3 = В3В2

а от трапеца В3В1А1А3, В3В2 = В2В1.
Най-сетне от триъгълника В2АА2, следва, че В2В1 = В1А. Окончателно получаваме:
АВ1 = В1В2 = В2В3 = В3В4 = В4В
Ясно е, че ако АВ трябва да се раздели на друг брой ражни части, върху р реябва да нанесем такъв брой равни отсечки. След това постъпваме както в разгледания случай